giúp mik với ạ

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{1}{2}x^2=\left(m+1\right)x-m^2-\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m^2+1=0\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m^2+1\right)=-m^2+2m\ge0\)

\(\Rightarrow0\le m\le2\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m^2+1\end{matrix}\right.\)

\(T=y_1+y_2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)

\(T=\dfrac{1}{2}x_1^2+\dfrac{1}{2}x_2^2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)

\(=2\left(m+1\right)^2-2\left(2m^2+1\right)-\left(2m+2\right)\)

\(=-2m^2+2m-2\)

\(=-2m^2+2m+4-6=\left(2m+2\right)\left(2-m\right)-6\ge-6\)

\(T_{min}=-6\) khi \(m=2\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=2x-m+1\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-2x+m-1=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\left(m-1\right)\)

\(=4-2\left(m-1\right)=4-2m+2=-2m+6\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \(\Delta>0\)

=>-2m+6>0

=>-2m>-6

=>m<3

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}=4\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m-1}{\dfrac{1}{2}}=2\left(m-1\right)\end{matrix}\right.\)

\(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)+48=0\)

=>\(\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)\cdot x_1x_2+48=0\)

=>\(\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\left(m-1\right)\cdot\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]+48=0\)

=>\(\left(m-1\right)\cdot\left[4^2-2\cdot2\left(m-1\right)\right]+48=0\)

=>\(\left(m-1\right)\left(16-4m+4\right)+48=0\)

=>\(\left(m-1\right)\left(-4m+20\right)+48=0\)

=>\(\left(m-1\right)\left(-m+5\right)+12=0\)

=>\(-m^2+5m+m-5+12=0\)

=>\(-m^2+6m+7=0\)

=>\(m^2-6m-7=0\)

=>(m-7)(m+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=7\left(loại\right)\\m=-1\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm: \(x^2-\left(2m-1\right)x+m-2=0\)

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2-4\left(m-2\right)=\left(2m-2\right)^2+5>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt

\(x_1y_1+x_2y_2=0\)

\(\Leftrightarrow x_1.x_1^2+x_2.x_2^2=0\) (do \(y_1=x_1^2;y_2=x_2^2\))

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3=0\)

\(\Leftrightarrow x_1^3=-x_2^3\Leftrightarrow x_1=-x_2\)

\(\Leftrightarrow x_1+x_2=0\)

Mà \(x_1+x_2=2m-1\Rightarrow2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}\)

a, Thay m = -1/2 vào (d) ta được : 

\(y=2x-2.\left(-\frac{1}{2}\right)+2\Rightarrow y=2x+3\)

Hoành độ giao điểm thỏa mãn phương trình 

\(2x+3=x^2\Leftrightarrow x^2-2x-3=0\)

\(\Delta=4-4\left(-3\right)=4+12=16>0\)

\(x_1=\frac{2-4}{2}=-1;x_2=\frac{2+4}{2}=3\)

Vói x = -1 thì \(y=-2+3=1\)

Vớ x = 3 thì \(y=6+3=9\)

Vậy tọa độ giao điểm của 2 điểm là A ( -1 ; 1 ) ; B ( 3 ; 9 )

b, mình chưa học 

\(y_1+y_2=4\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2=4\left(x_1+x_2\right)\)(1)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có: 

\(x^2=2x-2m+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+2m-2=0\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: 

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=2m-2\end{cases}}\)

Từ (1)  \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4\left(x_1+x_2\right)\)

\(\Leftrightarrow4-4m+4=8\)

\(\Leftrightarrow m=0\)

vậy..

sửa lại hoàn chỉnh cho câu a nhé んuﾘ ｲ ( ✎﹏IDΣΛ亗 )  e mới học a ko trách đâu nhưng đi thi làm thế này trừ bị điểm

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm chung của (d) và (P) :

\(x^2=2x-2m+2\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+2m-2=0\)

Thay m=\(\frac{-1}{2}\)vào ...

đến đây delta trình bày như e đc r 

b) Cấn Minh Vy  câu a có pt giao điểm chung  rồi thì câu b ko cần đâu bỏ đi nha, chả qua mình viết thế để tách bài riêng biệt

Sửa đề: Sao cho biểu thức T đạt GTLN

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=\left(m+1\right)x-m^2-\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-\left(m+1\right)x+m^2+\dfrac{1}{2}=0\)

=>\(x^2-\left(2m+2\right)x+2m^2+1=0\)

\(\text{Δ}=\left(2m+2\right)^2-4\left(2m^2+1\right)\)

\(=4m^2+8m+4-8m^2-4=-4m^2+8m\)

Để phương trình có hai nghiệm thì Δ>=0

=>\(-4m^2+8m>=0\)

=>\(-4\left(m^2-2m\right)>=0\)

=>\(m^2-2m< =0\)

=>\(m\left(m-2\right)< =0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m>=0\\m-2< =0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m>=0\\m< =2\end{matrix}\right.\)

=>0<=m<=2

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m< =0\\m-2>=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m< =0\\m>=2\end{matrix}\right.\)

=>Loại

\(\dfrac{1}{2}x^2-\left(m+1\right)x+m^2+\dfrac{1}{2}=0\)

\(a=\dfrac{1}{2};b=-\left(m+1\right);c=m^2+\dfrac{1}{2}\)

Theo Vi-et, ta có: 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=\dfrac{m+1}{\dfrac{1}{2}}=2\left(m+1\right)\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{m^2+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}=2\left(m^2+\dfrac{1}{2}\right)=2m^2+1\end{matrix}\right.\)

\(T=y_1+y_2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}x_1^2+\dfrac{1}{2}x_2^2-2m^2-1-2m-2\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x_1^2+x_2^2\right)-2m^2-2m-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]-2m^2-2m-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[\left(2m+2\right)^2-2\left(2m^2+1\right)\right]-2m^2-2m-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left[4m^2+8m+4-4m^2-2\right]-2m^2-2m-3\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(8m+2\right)-2m^2-2m-3\)

\(=4m+1-2m^2-2m-3=-2m^2+2m-2\)

\(=-2\left(m^2-m+1\right)\)

\(=-2\left(m^2-m+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\)

\(=-2\left[\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\right]\)

\(=-2\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{2}< =-\dfrac{3}{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi m=1/2

Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:

$\frac{1}{2}x^2-(m+1)x+m^2+\frac{1}{2}=0$

$\Leftrightarrow x^2-2(m+1)x+2m^2+1=0(*)$

Để 2 đths cắt nhau tại 2 điểm pb thì pt $(*)$ phải có 2 nghiệm pb

$\Leftrightarrow \Delta'=(m+1)^2-(2m^2+1)>0$

$\Leftrightarrow m(2-m)>0$

$\Leftrightarrow 0< m< 2$
Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2m+2$
$x_1x_2=2m^2+1$
Khi đó:

$T=y_1+y_2-x_1x_2-(x_1+x_2)$

$=\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2)-x_1x_2-(x_1+x_2)$

$=\frac{1}{2}(x_1+x_2)^2-2x_1x_2-(x_1+x_2)$

$=\frac{1}{2}(2m+2)^2-2(2m^2+1)-(2m+2)$

$=-2m^2+2m-2$

Với điều kiện $0< m< 2$ thì biểu thức này không có min nhé. Bạn xem lại.

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=mx-m+2\)

=>\(x^2-mx+m-2=0\)

\(\text{Δ}=\left(-m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-2\right)\)

\(=m^2-4m+8\)

\(=\left(m-2\right)^2+4>0\forall m\)

=>(P) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{-\left(-m\right)}{1}=m\\x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}=m-2\end{matrix}\right.\)

\(x_1y_2+x_2y_1-15=0\)

=>\(x_1\cdot x_2^2+x_2\cdot x_1^2-15=0\)

=>\(x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-15=0\)

=>\(m\left(m-2\right)-15=0\)

=>\(m^2-2m-15=0\)

=>(m-5)(m+3)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=5\left(nhận\right)\\m=-3\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

a) Thay y=8 vào \(\left(P\right):y=\frac{-x^2}{2}\):

\(8=\frac{-x^2}{2}\Rightarrow x=\pm4\)

Vậy M(4;8) hoặc (-4;8).

b) \(\frac{-x^2}{2}=x+m\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2x-2m=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+2m=0\)

Để (d) cắt (P) tại 2 điểm pb thì Δ>0

\(\Rightarrow4-8m>0\Leftrightarrow m< \frac{1}{2}\)

Có: \(y_1=x_1+m;y_2=x_2+m\)

\(\Rightarrow\left(x_1+y_1\right)\left(x_2+y_2\right)=\frac{33}{4}\)

\(\Rightarrow\left(2x_1+m\right)\left(2x_2+m\right)=\frac{33}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x_1x_2+2x_1m+2x_2m+m^2=\frac{33}{4}\)

\(\Leftrightarrow4x_1x_2+2m\left(x_1+x_2\right)+m^2=\frac{33}{4}\)

Theo hệ thức Vi-et: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow8m-4m+m^2=\frac{33}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m=\frac{33}{4}\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m-\frac{33}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\frac{3}{2}\left(KTM\right)\\m=\frac{-11}{2}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m=\(\frac{-11}{2}\) thỏa mãn.

a) Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình:

   \(x^2=ax+3\)

Phương trình trên tương đương với 

    \(x^2-ax-3=0\)   (*)

Phương trình bậc hai có \(\Delta=a^2+12>0\) với mọi a nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt => (P) và (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.

b) Gọi \(x_1,x_2\) là hoành độ của hai giao điểm => \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của (*). Theo định lý Viet ta có:

   \(\hept{\begin{cases}x_1x_2=-3\\x_1+x_2=-a\end{cases}}\)

Khi đó tung độ hai giao điểm tương ứng là   \(y_1=a.x_1+3\) và \(y_2=a.x_2+3\).

Ta có: 

  \(x_1x_2\left(y_1+y_2\right)=x_1x_2\left[ax_1+3+ax_2+3\right]=x_1x_2\left[a\left(x_1+x_2\right)+6\right]\)

 \(=\left(-3\right)\left[a\left(a\right)+6\right]=-3\left(a^2+6\right)\).

Vậy ta phải có:

    \(-3\left(a^2+6\right)=2a-19\)

   \(\Leftrightarrow3a^2+2a-1=0\)

  \(a=-1;a=\frac{1}{3}\)

a: Thay x=0 và y=0 vào (d), ta được

\(2\cdot\left(m-1\right)\cdot0-\left(m^2-2m\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m=0\)

=>m=0 hoặc m=2

b: Khi m=3 thì (d): \(y=2\left(3-1\right)x-\left(3^2-2\cdot3\right)\)

\(\Rightarrow y=2\cdot2x-9+6=4x-3\)

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2-4x+3=0\)

=>x=1 hoặc x=3

Khi x=1 thì y=1

Khi x=3 thì y=9